Xét (O) có

CA,CM là tiếp tuyến

Do đó: OC là phân giác của \(\widehat{MOA}\)

=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

Do đó: OD là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

\(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOD}+\widehat{MOC}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{DOC}=180^0\)

=>\(\widehat{DOC}=90^0\)

=>ΔDOC vuông tại O

Gọi N là trung điểm của CD

ΔOCD vuông tại O

=>ΔOCD nội tiếp đường tròn đường kính CD

mà N là trung điểm của CD

nên ΔOCD nội tiếp (N)

Xét hình thang ACDB có

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>ON là đường trung bình của hình thang ACDB

=>ON//AC//BD

=>ON\(\perp\)AB tại O

Xét (N) có

NO là bán kính

AB\(\perp\)NO tại O

Do đó:AB là tiếp tuyến của (N)

=>Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB

a: Xét (D) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó;ΔBFC vuông tại F

=>CF\(\perp\)FB tại F

=>CF\(\perp\)AB tại F

Xét (D) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>BE\(\perp\)CE tại E

=>BE\(\perp\)AC tại E

Xét tứ giác AFHE có

\(\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

=>AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>A,E,H,F cùng thuộc đường tròn (O), với O là trung điểm của AH

b: Xét ΔABC có

BE,CF là đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm

=>AH\(\perp\)BC

ΔABC cân tại A

mà AD là đường trung tuyến

nên AD\(\perp\)BC tại D

mà AH\(\perp\)BC và AH,AD có điểm chung là A

nên A,H,D thẳng hàng

=>O,H,D thẳng hàng

OH=OE

=>ΔOHE cân tại O

=>\(\widehat{OEH}=\widehat{OHE}\)

mà \(\widehat{BHD}=\widehat{OHE}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{BHD}=\widehat{BCE}\left(=90^0-\widehat{HBD}\right)\)

nên \(\widehat{OEH}=\widehat{BCE}\)

DB=DE

=>ΔDBE cân tại D

=>\(\widehat{DBE}=\widehat{DEB}\)

\(\widehat{OED}=\widehat{OEH}+\widehat{DEH}\)

\(=\widehat{BCE}+\widehat{EBC}=90^0\)

=>DE là tiếp tuyến của (O)

1: ΔABC vuông tại A

=>A,B,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC

=>O là trung điểm của BC

ΔOAC cân tại O

mà OD là đường trung tuyến

nên OD vuông góc AC

Xét tứ giác AHOD có góc AHO+góc ADO=180 độ

nên AHOD nội tiếp đường tròn đường kính AO

2: I nằm giữa O và A

=>OI+IA=OA

=>OI=OA-IA=R-r

=>(I) tiếp xúc (O) tại A

3: Xét (I) có

ΔAEO nội tiếp

AO là đường kính

Do đó: ΔAEO vuông tại E

Xét tứ giác AEOD có

góc AEO=góc ADO=góc EAD=90 độ

=>AEOD là hình chữ nhật

=>AO cắt ED tại trung điểm của mỗi đường

=>E,I,D thẳng hàng

a: Vì góc AKB=góc AHB=90 độ

=>AKHB nội tiếp

b: góc FBC=góc HAC=góc EBC

=>BH là phân giác của góc EBI